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晶粒度的分形特征研究
周 捷 王印培
(华东理工大学化工机械研究所 上海200237)
摘 要：测量了标准图谱中铁素体晶粒度图形的分形维数。考察了晶粒度与分维之间的关系。结果表明，金属晶粒可用分形维数定量描述。在1～8级晶粒度范围内，随着晶粒度级别的提高，分维数值逐渐增大，其中以1～5级内增大得最为显著。
主题词：金属； 晶粒度； 分形； 分维
分形几何作为近十几年发展起来的一门新的数学理论，其研究对象是不规则的但又具有自相似性的图形。描述这类图形的特征参量是分形维数。自1984年Mandelbrot[2]等首先报道了冲击断口的分形维数与冲击功具有线性相关的实验结果后，引起了材料科学工作者的极大兴趣。相继有许多关于材料性能与分维关系的研究报告发表，但大多集中在断口图象的分析上。从工程应用的观点看，如能将金属材料的金相组织用分维函数定量描述，则意义更大。
众所周知，金相组织是金属材料微观特征中最为本质的一个部分，而在金相组织中的诸多参数中，合金组织的尺寸大小又是相当重要的因素之一。合金组织尺寸大小的概念是广义的。对于纯金属或单相合金，它指的是组织中晶粒的大小;对于多相合金组织，它指的是组成相的晶粒大小，或者组织区的大小。
晶粒具有不规则性，这是显而易见的。而关于自相似性，可以从金属的结晶过程来考虑。金属结晶无论是从液态金属转变成固态金属还是从一种固相转变成另一种固相，其过程都是一个原子重新排列的过程。这个过程不是一瞬间完成的，而是要经过一个由形核、核长大到晶粒彼此接触阻止的发展过程。这个过程对每个晶粒都是彼此相似的，因而最终形成的晶粒也是自相似的。
既然从金相上观察到的晶粒是具有不规则性与自相似性的图形，而分形又是研究具有不规则性与自相似性图形的一个十分有效的数学工具，那么，从理论上说，本文认为晶粒度可用分形维数来定量描述。通过对标准图谱中铁素体晶粒度图形的分形分析，并进一步考察晶粒度与分维之间的关系。本文以实验数据验证了“金属晶粒度可用分形维数来定量描述”这样一个观点，并且在1～8级晶粒度范围内，找到了一个分形维数随晶粒度级别变化最为敏感的区间。
1 实验部分
1.1 实验方法
实验测试分维采用分形中经典的“周积法”，即测量每个封闭图形的周长和面积。分形维数以周长和面积在双对数坐标上所作出的直线的斜率的2倍来确定。
1.2 实验仪器与软件
实验所用的晶粒度图形取自GB4335—84《低碳钢冷轧薄板铁素体晶粒度测定法》中的标准图谱。图形分析计算软件以Optimas6.2为主。
2 结果与讨论
2.1 标准图谱的分维曲线
采用“周积法”共测量了24张晶粒度图形的分形维数，结果表明每一张图形中的晶粒周长和面积数据在双对数坐标上作图，均可得到一条线性相关性极佳的直线，见图1～图6。这个实验结果表明晶粒图形确实具有典型的分形特征，且可以用分形维数这一特征参数来定量化。图1～图6中的a图为晶粒度图形，b图为测量的晶粒周长与面积在双对数坐标上的分布情况。因篇幅限制，这里仅对三个晶粒度系列中每个系列任选2张不同级别的典型示例，各级别的实验结果基本一致。
(a)Ⅰ系列2级晶粒度图形
(b)
Ⅰ系列2级晶粒度的分维
图1 Ⅰ-2级晶粒度实验结果
(a)
Ⅰ系列7级晶粒度图形
(b)
Ⅰ系列7级晶粒度的分维
图2 Ⅰ-7级晶粒度实验结果
(a)
Ⅱ系列3级晶粒度图形
(b)
Ⅱ系列3级晶粒度的分维
图3 Ⅱ-3级晶粒度实验结果
(a)
Ⅱ系列8级晶粒度图形
(b) Ⅱ系列8级晶粒度的分维
图4 Ⅱ-8级晶粒度实验结果
(a)
Ⅲ系列1级晶粒度图形
(b)
Ⅲ系列1级晶粒度的分维
图5 Ⅲ-1级晶粒度实验结果
(a)
Ⅲ系列5级晶粒度图形
(b)
Ⅲ系列5级晶粒度的分维
图6 Ⅲ-5级晶粒度实验结果
2.2 晶粒度与分维之间的关系
将8个级别的晶粒分维与晶粒尺寸之间建立联系，可得到图7所示的结果。由图可见，在晶粒尺寸与相应的晶粒度分维之间具有良好的相关性，即随着晶粒度级别的提高，分形维数大致有一个直线上升的趋势。
图7 分形维数与晶粒尺寸之间的关系
图7给出了分形维数与标准图谱中三个系列晶粒度的关系。为了分析方便，横坐标改以晶粒尺寸(Lm)表示。以图中系列2为例，作一个简单的数学分析处理。将数据点拟合，可得
y=2E-06x2-0.0017x+1.14(R2=0.952)
式中 y——分形维数
x——晶粒尺寸
R——相关系数
上式中给出了一个晶粒尺寸与分维数之间的二次关系式。式中第一项为正，我们称之为增强项;第二项为负，我们称之为削弱项;第三项为常数项。现在来分析一下前两项对分形维数大小所起的作用，数据列于附表。
由附表可以看出，增强项的系数虽然在整个关系式中显得微不足道，但在大晶粒尺寸下，当它与晶粒尺寸平方相乘时，数值也是不可忽略的。不过，由于二次方的影响，当晶粒尺寸逐级减小时，增强项减小的速度也相当快。到7级和8级时，增强项影响几乎可忽略不计。削弱项的数值也随晶粒尺寸减小而减少，但由于它与晶粒尺寸之间仅仅有一次方的关系，故减少速度也慢些。这两项是影响分维数值大小的两个关键项，其一正一负对分维数值的最终影响可见附表中最后一列。由这一列数据可以看到，这两项对分维的影响亦是随晶粒尺寸减小而逐渐削弱。从6级开始，其影响只有6.6%;7级为4.7%;8级只有3.3%。也就是说，从6级开始，几乎可以认为晶粒分维趋于常数(虽有增大，但增大的极其微弱，几乎可以忽略不计)。
2.3 材料性能与晶粒分维
传统的材料学理论认为，晶粒越细，材料的常规力学性能如拉伸强度、韧性、塑性等会相应提高。晶粒细化意味着分维增大。由此，似乎可以推论，晶粒分维增大，材料的常规力学性能有所提高。而在那些随晶粒尺寸改变而变化的材料性能中，也存在一个对晶粒尺寸变化较为敏感的区间。换言之，晶粒尺寸过小有时对某些性能的影响不再显著，这与分形维数随晶粒尺寸变化的规律似乎是相似的。因而，材料性能与金相分形维数之间在进一步的试验研究之后，可望建立确定的关系。
3 结论
(1)金属的晶粒具有分形特征，并可用分形维数来定量描述。
(2)在晶粒度与分维之间存在着良好的相关性。1～8级晶粒度范围内，分维随晶粒度级别提高有一个上升趋势，其敏感变化的区间为1～5级。6级以上，分维对晶粒度级别变化渐趋不敏感。
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